← 2021 Paper 2
UPSC 2021 Maths Optional Paper 2 Q8c — Step-by-Step Solution 20 marks · Section B
Potential flow · Mechanics & Fluid Dynamics · asked 10× in 14 yrs · Read the full method →
Question
For complex potential w = tan − 1 z w=\tan^{-1}z w = tan − 1 z z = ± i z=\pm i z = ± i
Technique
Use tan − 1 z = ( 1 / ( 2 i ) ) ln ( ( 1 + i z ) / ( 1 − i z ) ) \tan^{-1}z=(1/(2i))\ln((1+iz)/(1-iz)) tan − 1 z = ( 1/ ( 2 i )) ln (( 1 + i z ) / ( 1 − i z )) ϕ = Θ / 2 \phi=\Theta/2 ϕ = Θ/2 ψ = − ln R / 2 \psi=-\ln R/2 ψ = − ln R /2
Solution
w = tan − 1 z = 1 2 i ln ( 1 + i z 1 − i z ) w=\tan^{-1}z=\dfrac{1}{2i}\ln\!\left(\dfrac{1+iz}{1-iz}\right) w = tan − 1 z = 2 i 1 ln ( 1 − i z 1 + i z )
(Or equivalently: w = i 2 ln ( 1 − i z 1 + i z ) w=\dfrac{i}{2}\ln\!\left(\dfrac{1-iz}{1+iz}\right) w = 2 i ln ( 1 + i z 1 − i z )
Step 2 — Express w = ϕ + i ψ w=\phi+i\psi w = ϕ + i ψ
Let 1 + i z 1 − i z = R e i Θ \dfrac{1+iz}{1-iz}=Re^{i\Theta} 1 − i z 1 + i z = R e i Θ R , Θ R,\Theta R , Θ ( x , y ) (x,y) ( x , y )
Then w = 1 2 i ( ln R + i Θ ) = Θ 2 − i 2 ln R w=\dfrac{1}{2i}(\ln R+i\Theta)=\dfrac{\Theta}{2}-\dfrac{i}{2}\ln R w = 2 i 1 ( ln R + i Θ ) = 2 Θ − 2 i ln R
ϕ = Θ / 2 \phi=\Theta/2 ϕ = Θ/2 ψ = − ln R / 2 \psi=-\ln R/2 ψ = − ln R /2
Step 3 — Compute R R R Θ \Theta Θ
1 + i z = 1 + i ( x + i y ) = 1 − y + i x 1+iz=1+i(x+iy)=1-y+ix 1 + i z = 1 + i ( x + i y ) = 1 − y + i x 1 − i z = 1 + y − i x 1-iz=1+y-ix 1 − i z = 1 + y − i x
1 + i z 1 − i z = ( 1 − y + i x ) ( 1 + y − i x ) = ( 1 − y + i x ) ( 1 + y + i x ) ( 1 + y − i x ) ( 1 + y + i x ) \dfrac{1+iz}{1-iz}=\dfrac{(1-y+ix)}{(1+y-ix)}=\dfrac{(1-y+ix)(1+y+ix)}{(1+y-ix)(1+y+ix)} 1 − i z 1 + i z = ( 1 + y − i x ) ( 1 − y + i x ) = ( 1 + y − i x ) ( 1 + y + i x ) ( 1 − y + i x ) ( 1 + y + i x )
Numerator: ( 1 − y + i x ) ( 1 + y + i x ) (1-y+ix)(1+y+ix) ( 1 − y + i x ) ( 1 + y + i x ) ( 1 + i x ) 2 − y 2 + cross ⋅ (1+ix)^2-y^2+\text{cross}\cdot ( 1 + i x ) 2 − y 2 + cross ⋅ ( 1 − y + i x ) ( 1 + y + i x ) = [ ( 1 + i x ) − y ] [ ( 1 + i x ) + y ] = ( 1 + i x ) 2 − y 2 (1-y+ix)(1+y+ix)=[(1+ix)-y][(1+ix)+y]=(1+ix)^2-y^2 ( 1 − y + i x ) ( 1 + y + i x ) = [( 1 + i x ) − y ] [( 1 + i x ) + y ] = ( 1 + i x ) 2 − y 2
( 1 + i x ) 2 = 1 + 2 i x − x 2 (1+ix)^2=1+2ix-x^2 ( 1 + i x ) 2 = 1 + 2 i x − x 2 = 1 − x 2 − y 2 + 2 i x =1-x^2-y^2+2ix = 1 − x 2 − y 2 + 2 i x
Denominator: ( 1 + y ) 2 + x 2 (1+y)^2+x^2 ( 1 + y ) 2 + x 2
So 1 + i z 1 − i z = ( 1 − x 2 − y 2 ) + 2 i x ( 1 + y ) 2 + x 2 \dfrac{1+iz}{1-iz}=\dfrac{(1-x^2-y^2)+2ix}{(1+y)^2+x^2} 1 − i z 1 + i z = ( 1 + y ) 2 + x 2 ( 1 − x 2 − y 2 ) + 2 i x
R 2 = ∣ numerator ∣ 2 / ∣ denominator ∣ 2 = ( 1 − x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2 [ ( 1 + y ) 2 + x 2 ] 2 R^2=|\text{numerator}|^2/|\text{denominator}|^2=\dfrac{(1-x^2-y^2)^2+4x^2}{[(1+y)^2+x^2]^2} R 2 = ∣ numerator ∣ 2 /∣ denominator ∣ 2 = [( 1 + y ) 2 + x 2 ] 2 ( 1 − x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2
Numerator of R 2 R^2 R 2 ( 1 − x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2 (1-x^2-y^2)^2+4x^2 ( 1 − x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2
Expand: 1 − 2 ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 + 4 x 2 = 1 + 2 x 2 − 2 y 2 + ( x 2 + y 2 ) 2 1-2(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^2+4x^2=1+2x^2-2y^2+(x^2+y^2)^2 1 − 2 ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 + 4 x 2 = 1 + 2 x 2 − 2 y 2 + ( x 2 + y 2 ) 2
Hmm let me try 1 − 2 ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 + 4 x 2 = 1 + 2 ( 2 x 2 ) − 2 ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 = 1 + ( 2 x 2 − 2 y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 1-2(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^2+4x^2=1+2(2x^2)-2(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^2=1+(2x^2-2y^2)+(x^2+y^2)^2 1 − 2 ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 + 4 x 2 = 1 + 2 ( 2 x 2 ) − 2 ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 = 1 + ( 2 x 2 − 2 y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2
Factor: ( x 2 + y 2 ) 2 + 2 x 2 − 2 y 2 + 1 = ( x 2 + y 2 ) 2 + 2 ( x 2 − y 2 ) + 1 (x^2+y^2)^2+2x^2-2y^2+1=(x^2+y^2)^2+2(x^2-y^2)+1 ( x 2 + y 2 ) 2 + 2 x 2 − 2 y 2 + 1 = ( x 2 + y 2 ) 2 + 2 ( x 2 − y 2 ) + 1
Note ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2 = 1 + 2 ( x 2 − y 2 ) + ( x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2 y 2 = 1 + 2 ( x 2 − y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 (1+x^2-y^2)^2+(2xy)^2=1+2(x^2-y^2)+(x^2-y^2)^2+4x^2 y^2=1+2(x^2-y^2)+(x^2+y^2)^2 ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2 = 1 + 2 ( x 2 − y 2 ) + ( x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2 y 2 = 1 + 2 ( x 2 − y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2
(Used ( x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2 y 2 = ( x 2 + y 2 ) 2 (x^2-y^2)^2+4x^2 y^2=(x^2+y^2)^2 ( x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2 y 2 = ( x 2 + y 2 ) 2
So R 2 ⋅ R^2 \cdot R 2 ⋅ 2 = ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2 ^2 = (1+x^2-y^2)^2+(2xy)^2 2 = ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2
R 2 = ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2 [ ( 1 + y ) 2 + x 2 ] 2 R^2=\dfrac{(1+x^2-y^2)^2+(2xy)^2}{[(1+y)^2+x^2]^2} R 2 = [( 1 + y ) 2 + x 2 ] 2 ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2
This factors nicely as ∣ 1 + i z ∣ 2 |1+iz|^2 ∣1 + i z ∣ 2 ∣ 1 + i z ∣ 2 = ( 1 − y ) 2 + x 2 |1+iz|^2=(1-y)^2+x^2 ∣1 + i z ∣ 2 = ( 1 − y ) 2 + x 2
Actually, ∣ 1 + i z ∣ = ∣ 1 − y + i x ∣ = ( 1 − y ) 2 + x 2 |1+iz|=|1-y+ix|=\sqrt{(1-y)^2+x^2} ∣1 + i z ∣ = ∣1 − y + i x ∣ = ( 1 − y ) 2 + x 2 ∣ 1 − i z ∣ = ( 1 + y ) 2 + x 2 |1-iz|=\sqrt{(1+y)^2+x^2} ∣1 − i z ∣ = ( 1 + y ) 2 + x 2
∣ 1 + i z 1 − i z ∣ = ∣ 1 + i z ∣ ∣ 1 − i z ∣ = ( 1 − y ) 2 + x 2 ( 1 + y ) 2 + x 2 = R |\dfrac{1+iz}{1-iz}|=\dfrac{|1+iz|}{|1-iz|}=\dfrac{\sqrt{(1-y)^2+x^2}}{\sqrt{(1+y)^2+x^2}}=R ∣ 1 − i z 1 + i z ∣ = ∣1 − i z ∣ ∣1 + i z ∣ = ( 1 + y ) 2 + x 2 ( 1 − y ) 2 + x 2 = R
So R 2 = ( 1 − y ) 2 + x 2 ( 1 + y ) 2 + x 2 R^2=\dfrac{(1-y)^2+x^2}{(1+y)^2+x^2} R 2 = ( 1 + y ) 2 + x 2 ( 1 − y ) 2 + x 2
Step 4 — Streamlines: ψ = \psi= ψ = R = R= R =
R 2 = x 2 + ( 1 − y ) 2 x 2 + ( 1 + y ) 2 = k R^2=\dfrac{x^2+(1-y)^2}{x^2+(1+y)^2}=k R 2 = x 2 + ( 1 + y ) 2 x 2 + ( 1 − y ) 2 = k
Cross-multiply: x 2 + ( 1 − y ) 2 = k [ x 2 + ( 1 + y ) 2 ] x^2+(1-y)^2=k[x^2+(1+y)^2] x 2 + ( 1 − y ) 2 = k [ x 2 + ( 1 + y ) 2 ] ( 1 − k ) x 2 + ( 1 − y ) 2 − k ( 1 + y ) 2 = 0 (1-k)x^2+(1-y)^2-k(1+y)^2=0 ( 1 − k ) x 2 + ( 1 − y ) 2 − k ( 1 + y ) 2 = 0 ( 1 − k ) x 2 + 1 − 2 y + y 2 − k ( 1 + 2 y + y 2 ) = 0 (1-k)x^2+1-2y+y^2-k(1+2y+y^2)=0 ( 1 − k ) x 2 + 1 − 2 y + y 2 − k ( 1 + 2 y + y 2 ) = 0 ( 1 − k ) x 2 + ( 1 − k ) y 2 − 2 y − 2 k y + ( 1 − k ) = 0 (1-k)x^2+(1-k)y^2-2y-2ky+(1-k)=0 ( 1 − k ) x 2 + ( 1 − k ) y 2 − 2 y − 2 k y + ( 1 − k ) = 0 ( 1 − k ) ( x 2 + y 2 ) − 2 y ( 1 + k ) + ( 1 − k ) = 0 (1-k)(x^2+y^2)-2y(1+k)+(1-k)=0 ( 1 − k ) ( x 2 + y 2 ) − 2 y ( 1 + k ) + ( 1 − k ) = 0
Divide by ( 1 − k ) (1-k) ( 1 − k ) k ≠ 1 k\ne 1 k = 1 x 2 + y 2 − 2 ( 1 + k ) 1 − k y + 1 = 0 x^2+y^2-\dfrac{2(1+k)}{1-k}y+1=0 x 2 + y 2 − 1 − k 2 ( 1 + k ) y + 1 = 0
Complete square: x 2 + ( y − 1 + k 1 − k ) 2 = ( 1 + k 1 − k ) 2 − 1 x^2+\!\left(y-\dfrac{1+k}{1-k}\right)^2=\!\left(\dfrac{1+k}{1-k}\right)^2-1 x 2 + ( y − 1 − k 1 + k ) 2 = ( 1 − k 1 + k ) 2 − 1
Let β = ( 1 + k ) / ( 1 − k ) \beta=(1+k)/(1-k) β = ( 1 + k ) / ( 1 − k ) β 2 − 1 = ( β − 1 ) ( β + 1 ) \beta^2-1=(\beta-1)(\beta+1) β 2 − 1 = ( β − 1 ) ( β + 1 )
β − 1 = 1 + k − ( 1 − k ) 1 − k = 2 k 1 − k \beta-1=\dfrac{1+k-(1-k)}{1-k}=\dfrac{2k}{1-k} β − 1 = 1 − k 1 + k − ( 1 − k ) = 1 − k 2 k β + 1 = 1 + k + 1 − k 1 − k = 2 1 − k \beta+1=\dfrac{1+k+1-k}{1-k}=\dfrac{2}{1-k} β + 1 = 1 − k 1 + k + 1 − k = 1 − k 2
β 2 − 1 = 4 k ( 1 − k ) 2 \beta^2-1=\dfrac{4k}{(1-k)^2} β 2 − 1 = ( 1 − k ) 2 4 k
So streamlines are circles x 2 + ( y − β ) 2 = β 2 − 1 x^2+(y-\beta)^2=\beta^2-1 x 2 + ( y − β ) 2 = β 2 − 1 ( 0 , β ) (0,\beta) ( 0 , β ) y y y β 2 − 1 \sqrt{\beta^2-1} β 2 − 1
Streamlines are circles passing through ( 0 , ± 1 ) (0,\pm 1) ( 0 , ± 1 ) (These are the points where the radius vanishes, the singularities at z = ± i z=\pm i z = ± i
Step 5 — Equipotential curves: ϕ = \phi= ϕ = Θ = \Theta= Θ =
Θ = arg ( 1 + i z 1 − i z ) \Theta=\arg\!\left(\dfrac{1+iz}{1-iz}\right) Θ = arg ( 1 − i z 1 + i z ) Θ \Theta Θ − i -i − i + i +i + i z = − i z=-i z = − i z = + i z=+i z = + i z z z
By the inscribed-angle theorem, Θ = \Theta= Θ = [ − i , + i ] [-i,+i] [ − i , + i ]
Equipotential curves are circles (arcs passing through ( 0 , ± 1 ) (0,\pm 1) ( 0 , ± 1 ) Θ \Theta Θ
Step 6 — Velocity
d w d z = d d z tan − 1 z = 1 1 + z 2 \dfrac{dw}{dz}=\dfrac{d}{dz}\tan^{-1}z=\dfrac{1}{1+z^2} d z d w = d z d tan − 1 z = 1 + z 2 1
Velocity vector V ˉ = 1 1 + z 2 \bar V=\dfrac{1}{1+z^2} V ˉ = 1 + z 2 1 ∣ V ∣ = 1 / ∣ 1 + z 2 ∣ |V|=1/|1+z^2| ∣ V ∣ = 1/∣1 + z 2 ∣
In Cartesian: 1 + z 2 = 1 + ( x + i y ) 2 = 1 + x 2 − y 2 + 2 i x y 1+z^2=1+(x+iy)^2=1+x^2-y^2+2ixy 1 + z 2 = 1 + ( x + i y ) 2 = 1 + x 2 − y 2 + 2 i x y
∣ 1 + z 2 ∣ = ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2 y 2 = ( 1 − y 2 + x 2 ) 2 + 4 x 2 y 2 |1+z^2|=\sqrt{(1+x^2-y^2)^2+4x^2 y^2}=\sqrt{(1-y^2+x^2)^2+4x^2 y^2} ∣1 + z 2 ∣ = ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + 4 x 2 y 2 = ( 1 − y 2 + x 2 ) 2 + 4 x 2 y 2
Recall: ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2 = 1 + 2 ( x 2 − y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 (1+x^2-y^2)^2+(2xy)^2=1+2(x^2-y^2)+(x^2+y^2)^2 ( 1 + x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2 = 1 + 2 ( x 2 − y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2
Step 7 — Singularities
1 + z 2 = 0 ⇒ z = ± i 1+z^2=0\Rightarrow z=\pm i 1 + z 2 = 0 ⇒ z = ± i d w / d z dw/dz d w / d z z = ± i z=\pm i z = ± i stagnation points in the inverse sense (velocity diverges; physically, the flow streamlines converge there).
w = tan − 1 z w=\tan^{-1}z w = tan − 1 z z = ± i z=\pm i z = ± i ln ( ( 1 + i z ) / ( 1 − i z ) ) / 2 i \ln((1+iz)/(1-iz))/2i ln (( 1 + i z ) / ( 1 − i z )) /2 i
So z = ± i z=\pm i z = ± i logarithmic branch points of w w w
Answer
Streamlines and equipotentials are circles through ( 0 , ± 1 ) ; V = 1 / ( 1 + z 2 ) ; branch points at z = ± i . \boxed{\;\text{Streamlines and equipotentials are circles through }(0,\pm 1);\;V=1/(1+z^2);\;\text{branch points at }z=\pm i.\;} Streamlines and equipotentials are circles through ( 0 , ± 1 ) ; V = 1/ ( 1 + z 2 ) ; branch points at z = ± i .