← 2025 Paper 1
UPSC Maths 2025 Paper 1 Q4c-i — Solution 12 marks · Section A
Question
Find the eigenvalues and the corresponding eigenvectors of the matrix
A = [ 1 2 0 2 1 − 6 2 − 2 3 ] . A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -6 \\ 2 & -2 & 3 \end{bmatrix}. A = 1 2 2 2 1 − 2 0 − 6 3 .
Technique
Solve det ( A − λ I ) = 0 \det(A-\lambda I)=0 det ( A − λ I ) = 0 ( A − λ I ) v = 0 (A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0 ( A − λ I ) v = 0
Solution
Step 1 — Characteristic polynomial.
det ( A − λ I ) = ∣ 1 − λ 2 0 2 1 − λ − 6 2 − 2 3 − λ ∣ . \det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}1-\lambda & 2 & 0\\ 2 & 1-\lambda & -6\\ 2 & -2 & 3-\lambda\end{vmatrix}. det ( A − λ I ) = 1 − λ 2 2 2 1 − λ − 2 0 − 6 3 − λ . = ( 1 − λ ) [ ( 1 − λ ) ( 3 − λ ) − ( − 6 ) ( − 2 ) ] − 2 [ 2 ( 3 − λ ) − ( − 6 ) ( 2 ) ] + 0. =(1-\lambda)\big[(1-\lambda)(3-\lambda)-(-6)(-2)\big]-2\big[2(3-\lambda)-(-6)(2)\big]+0. = ( 1 − λ ) [ ( 1 − λ ) ( 3 − λ ) − ( − 6 ) ( − 2 ) ] − 2 [ 2 ( 3 − λ ) − ( − 6 ) ( 2 ) ] + 0. ( 1 − λ ) ( 3 − λ ) − 12 = λ 2 − 4 λ + 3 − 12 = λ 2 − 4 λ − 9 , (1-\lambda)(3-\lambda)-12=\lambda^2-4\lambda+3-12=\lambda^2-4\lambda-9, ( 1 − λ ) ( 3 − λ ) − 12 = λ 2 − 4 λ + 3 − 12 = λ 2 − 4 λ − 9 , 2 ( 3 − λ ) + 12 = 18 − 2 λ . 2(3-\lambda)+12=18-2\lambda. 2 ( 3 − λ ) + 12 = 18 − 2 λ . det = ( 1 − λ ) ( λ 2 − 4 λ − 9 ) − 2 ( 18 − 2 λ ) . \det=(1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-9)-2(18-2\lambda). det = ( 1 − λ ) ( λ 2 − 4 λ − 9 ) − 2 ( 18 − 2 λ ) . ( 1 − λ ) ( λ 2 − 4 λ − 9 ) = λ 2 − 4 λ − 9 − λ 3 + 4 λ 2 + 9 λ = − λ 3 + 5 λ 2 + 5 λ − 9. (1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-9)=\lambda^2-4\lambda-9-\lambda^3+4\lambda^2+9\lambda=-\lambda^3+5\lambda^2+5\lambda-9. ( 1 − λ ) ( λ 2 − 4 λ − 9 ) = λ 2 − 4 λ − 9 − λ 3 + 4 λ 2 + 9 λ = − λ 3 + 5 λ 2 + 5 λ − 9. 2 ( 18 − 2 λ ) = 36 − 4 λ 2(18-2\lambda)=36-4\lambda 2 ( 18 − 2 λ ) = 36 − 4 λ − λ 3 + 5 λ 2 + 5 λ − 9 − 36 + 4 λ = − λ 3 + 5 λ 2 + 9 λ − 45. -\lambda^3+5\lambda^2+5\lambda-9-36+4\lambda=-\lambda^3+5\lambda^2+9\lambda-45. − λ 3 + 5 λ 2 + 5 λ − 9 − 36 + 4 λ = − λ 3 + 5 λ 2 + 9 λ − 45. det ( A − λ I ) = 0 \det(A-\lambda I)=0 det ( A − λ I ) = 0 − 1 -1 − 1 λ 3 − 5 λ 2 − 9 λ + 45 = 0. \lambda^3-5\lambda^2-9\lambda+45=0. λ 3 − 5 λ 2 − 9 λ + 45 = 0.
Step 2 — Roots. Group: λ 2 ( λ − 5 ) − 9 ( λ − 5 ) = ( λ − 5 ) ( λ 2 − 9 ) = ( λ − 5 ) ( λ − 3 ) ( λ + 3 ) = 0. \lambda^2(\lambda-5)-9(\lambda-5)=(\lambda-5)(\lambda^2-9)=(\lambda-5)(\lambda-3)(\lambda+3)=0. λ 2 ( λ − 5 ) − 9 ( λ − 5 ) = ( λ − 5 ) ( λ 2 − 9 ) = ( λ − 5 ) ( λ − 3 ) ( λ + 3 ) = 0. λ = 5 , λ = 3 , λ = − 3. \lambda=5,\quad \lambda=3,\quad \lambda=-3. λ = 5 , λ = 3 , λ = − 3.
Step 3 — Eigenvectors.
λ = 3 \lambda=3 λ = 3 ( A − 3 I ) v = 0 (A-3I)\mathbf v=0 ( A − 3 I ) v = 0 A − 3 I = [ − 2 2 0 2 − 2 − 6 2 − 2 0 ] . A-3I=\begin{bmatrix}-2&2&0\\2&-2&-6\\2&-2&0\end{bmatrix}. A − 3 I = − 2 2 2 2 − 2 − 2 0 − 6 0 . − 2 x + 2 y = 0 ⇒ y = x -2x+2y=0\Rightarrow y=x − 2 x + 2 y = 0 ⇒ y = x 2 x − 2 y = 0 2x-2y=0 2 x − 2 y = 0 2 x − 2 y − 6 z = 0 ⇒ − 6 z = 0 ⇒ z = 0 2x-2y-6z=0\Rightarrow -6z=0\Rightarrow z=0 2 x − 2 y − 6 z = 0 ⇒ − 6 z = 0 ⇒ z = 0 v = ( 1 , 1 , 0 ) T \mathbf v=(1,1,0)^T v = ( 1 , 1 , 0 ) T
λ = 5 \lambda=5 λ = 5 A − 5 I = [ − 4 2 0 2 − 4 − 6 2 − 2 − 2 ] . A-5I=\begin{bmatrix}-4&2&0\\2&-4&-6\\2&-2&-2\end{bmatrix}. A − 5 I = − 4 2 2 2 − 4 − 2 0 − 6 − 2 . − 4 x + 2 y = 0 ⇒ y = 2 x -4x+2y=0\Rightarrow y=2x − 4 x + 2 y = 0 ⇒ y = 2 x 2 x − 2 y − 2 z = 0 ⇒ z = x − y = x − 2 x = − x 2x-2y-2z=0\Rightarrow z=x-y=x-2x=-x 2 x − 2 y − 2 z = 0 ⇒ z = x − y = x − 2 x = − x 2 x − 4 ( 2 x ) − 6 ( − x ) = 2 x − 8 x + 6 x = 0 2x-4(2x)-6(-x)=2x-8x+6x=0 2 x − 4 ( 2 x ) − 6 ( − x ) = 2 x − 8 x + 6 x = 0 v = ( 1 , 2 , − 1 ) T \mathbf v=(1,2,-1)^T v = ( 1 , 2 , − 1 ) T
λ = − 3 \lambda=-3 λ = − 3 A + 3 I = [ 4 2 0 2 4 − 6 2 − 2 6 ] . A+3I=\begin{bmatrix}4&2&0\\2&4&-6\\2&-2&6\end{bmatrix}. A + 3 I = 4 2 2 2 4 − 2 0 − 6 6 . 4 x + 2 y = 0 ⇒ y = − 2 x 4x+2y=0\Rightarrow y=-2x 4 x + 2 y = 0 ⇒ y = − 2 x 2 x − 2 y + 6 z = 0 ⇒ 2 x + 4 x + 6 z = 0 ⇒ z = − x 2x-2y+6z=0\Rightarrow 2x+4x+6z=0\Rightarrow z=-x 2 x − 2 y + 6 z = 0 ⇒ 2 x + 4 x + 6 z = 0 ⇒ z = − x 2 x + 4 ( − 2 x ) − 6 ( − x ) = 2 x − 8 x + 6 x = 0 2x+4(-2x)-6(-x)=2x-8x+6x=0 2 x + 4 ( − 2 x ) − 6 ( − x ) = 2 x − 8 x + 6 x = 0 v = ( 1 , − 2 , − 1 ) T \mathbf v=(1,-2,-1)^T v = ( 1 , − 2 , − 1 ) T ( − 1 , 2 , 1 ) T (-1,2,1)^T ( − 1 , 2 , 1 ) T
Answer
\lambda_1&=3,\ &\mathbf v_1&=(1,1,0)^T,\\
\lambda_2&=5,\ &\mathbf v_2&=(1,2,-1)^T,\\
\lambda_3&=-3,\ &\mathbf v_3&=(1,-2,-1)^T\ (\text{or }(-1,2,1)^T).
\end{aligned}\;}$$