← 2015 Paper 1
UPSC 2015 Maths Optional Paper 1 Q7d — Step-by-Step Solution 13 marks · Section B
First-order higher-degree ODEs · ODEs · asked 5× in 14 yrs · Read the full method →
Question
Solve the differential equation x = p y − p 2 x=py-p^2 x = p y − p 2 p = d y d x p=\dfrac{dy}{dx} p = d x d y
Technique
Lagrange/d’Alembert form; differentiate w.r.t. x x x d y / d x = p dy/dx=p d y / d x = p y y y p p p 1 − p 2 \sqrt{1-p^2} 1 − p 2 p = sin θ p=\sin\theta p = sin θ
Solution
Strategy. This is an equation of Lagrange/d’Alembert type, solvable for x x x p p p y y y x x x y y y p p p p p p
Step 1 — Differentiate x = p y − p 2 x=py-p^2 x = p y − p 2 x x x
1 = p ′ y + p ⋅ d y d x − 2 p ⋅ p ′ = p ′ y + p 2 − 2 p p ′ . 1=p'y+p\cdot\dfrac{dy}{dx}-2p\cdot p'=p'y+p^2-2p p'. 1 = p ′ y + p ⋅ d x d y − 2 p ⋅ p ′ = p ′ y + p 2 − 2 p p ′ . (Where p ′ = d p / d x p'=dp/dx p ′ = d p / d x 1 − p 2 1-p^2 1 − p 2
1 − p 2 = p ′ ( y − 2 p ) , 1-p^2=p'(y-2p), 1 − p 2 = p ′ ( y − 2 p ) , d x d p = y − 2 p 1 − p 2 . ( ∗ ) \dfrac{dx}{dp}=\dfrac{y-2p}{1-p^2}.\qquad(*) d p d x = 1 − p 2 y − 2 p . ( ∗ ) Wait — we have p ′ = d p / d x p'=dp/dx p ′ = d p / d x 1 p ′ = d x d p \dfrac{1}{p'}=\dfrac{dx}{dp} p ′ 1 = d p d x 1 − p 2 = p ′ ( y − 2 p ) 1-p^2=p'(y-2p) 1 − p 2 = p ′ ( y − 2 p )
d x d p = y − 2 p 1 − p 2 . \dfrac{dx}{dp}=\dfrac{y-2p}{1-p^2}. d p d x = 1 − p 2 y − 2 p . Hmm but y y y p p p
From the original equation x = p y − p 2 x=py-p^2 x = p y − p 2 y y y p p p
y = x + p 2 p . y=\dfrac{x+p^2}{p}. y = p x + p 2 . We have two relations: x = p y − p 2 x=py-p^2 x = p y − p 2 1 − p 2 = ( d p / d x ) ( y − 2 p ) 1-p^2=(dp/dx)(y-2p) 1 − p 2 = ( d p / d x ) ( y − 2 p )
Alternative: derive d y / d p dy/dp d y / d p y = ( x + p 2 ) / p y=(x+p^2)/p y = ( x + p 2 ) / p d x / d p dx/dp d x / d p
From x = p y − p 2 x=py-p^2 x = p y − p 2 d x / d p = y + p ⋅ d y / d p − 2 p dx/dp=y+p\cdot dy/dp-2p d x / d p = y + p ⋅ d y / d p − 2 p
And p = d y / d x ⇒ d y = p d x ⇒ d y / d p = p ⋅ d x / d p p=dy/dx\Rightarrow dy=p\,dx\Rightarrow dy/dp=p\cdot dx/dp p = d y / d x ⇒ d y = p d x ⇒ d y / d p = p ⋅ d x / d p
Substitute: d x / d p = y + p ⋅ p ⋅ d x / d p − 2 p = y + p 2 ( d x / d p ) − 2 p dx/dp=y+p\cdot p\cdot dx/dp-2p=y+p^2(dx/dp)-2p d x / d p = y + p ⋅ p ⋅ d x / d p − 2 p = y + p 2 ( d x / d p ) − 2 p
d x / d p ⋅ ( 1 − p 2 ) = y − 2 p dx/dp\cdot(1-p^2)=y-2p d x / d p ⋅ ( 1 − p 2 ) = y − 2 p
d x d p = y − 2 p 1 − p 2 . ( † ) \dfrac{dx}{dp}=\dfrac{y-2p}{1-p^2}.\qquad(\dagger) d p d x = 1 − p 2 y − 2 p . ( † ) And d y / d p = p ⋅ d x / d p = p ( y − 2 p ) 1 − p 2 dy/dp=p\cdot dx/dp=\dfrac{p(y-2p)}{1-p^2} d y / d p = p ⋅ d x / d p = 1 − p 2 p ( y − 2 p )
( 1 − p 2 ) d y d p = p y − 2 p 2 , (1-p^2)\dfrac{dy}{dp}=py-2p^2, ( 1 − p 2 ) d p d y = p y − 2 p 2 , ( 1 − p 2 ) d y d p − p y = − 2 p 2 , (1-p^2)\dfrac{dy}{dp}-py=-2p^2, ( 1 − p 2 ) d p d y − p y = − 2 p 2 , d y d p − p 1 − p 2 y = − 2 p 2 1 − p 2 . ( ‡ ) \dfrac{dy}{dp}-\dfrac{p}{1-p^2}y=\dfrac{-2p^2}{1-p^2}.\qquad(\ddagger) d p d y − 1 − p 2 p y = 1 − p 2 − 2 p 2 . ( ‡ ) This is linear in y y y p p p
Step 2 — Integrating factor for ( ‡ ) (\ddagger) ( ‡ )
P ( p ) = − p 1 − p 2 P(p)=-\dfrac{p}{1-p^2} P ( p ) = − 1 − p 2 p
∫ P d p = − ∫ p 1 − p 2 d p = 1 2 ln ∣ 1 − p 2 ∣ + const \int P\,dp=-\int\dfrac{p}{1-p^2}\,dp=\dfrac{1}{2}\ln|1-p^2|+\text{const} ∫ P d p = − ∫ 1 − p 2 p d p = 2 1 ln ∣1 − p 2 ∣ + const
(Using d ( 1 − p 2 ) / d p = − 2 p d(1-p^2)/dp=-2p d ( 1 − p 2 ) / d p = − 2 p − p d p = 1 2 d ( 1 − p 2 ) -p\,dp=\tfrac{1}{2}\,d(1-p^2) − p d p = 2 1 d ( 1 − p 2 ) ∫ − p / ( 1 − p 2 ) d p = 1 2 ln ∣ 1 − p 2 ∣ \int -p/(1-p^2)\,dp=\tfrac{1}{2}\ln|1-p^2| ∫ − p / ( 1 − p 2 ) d p = 2 1 ln ∣1 − p 2 ∣
So IF = exp ( ∫ P d p ) = ∣ 1 − p 2 ∣ 1 / 2 = 1 − p 2 =\exp(\int P\,dp)=|1-p^2|^{1/2}=\sqrt{1-p^2} = exp ( ∫ P d p ) = ∣1 − p 2 ∣ 1/2 = 1 − p 2 ∣ p ∣ < 1 |p|<1 ∣ p ∣ < 1
Step 3 — Multiply ( ‡ ) (\ddagger) ( ‡ )
1 − p 2 d y d p − p 1 − p 2 y = − 2 p 2 1 − p 2 . \sqrt{1-p^2}\,\dfrac{dy}{dp}-\dfrac{p}{\sqrt{1-p^2}}\,y=\dfrac{-2p^2}{\sqrt{1-p^2}}. 1 − p 2 d p d y − 1 − p 2 p y = 1 − p 2 − 2 p 2 . LHS = d d p ( y 1 − p 2 ) \dfrac{d}{dp}\bigl(y\sqrt{1-p^2}\bigr) d p d ( y 1 − p 2 )
Step 4 — Integrate RHS
y 1 − p 2 = ∫ − 2 p 2 1 − p 2 d p + C . y\sqrt{1-p^2}=\int\dfrac{-2p^2}{\sqrt{1-p^2}}\,dp+C. y 1 − p 2 = ∫ 1 − p 2 − 2 p 2 d p + C . Compute ∫ p 2 1 − p 2 d p \int\dfrac{p^2}{\sqrt{1-p^2}}\,dp ∫ 1 − p 2 p 2 d p p = sin θ p=\sin\theta p = sin θ d p = cos θ d θ dp=\cos\theta\,d\theta d p = cos θ d θ
∫ sin 2 θ cos θ cos θ d θ = ∫ sin 2 θ d θ = θ − sin θ cos θ 2 = sin − 1 p − p 1 − p 2 2 \int\dfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cos\theta\,d\theta=\int\sin^2\theta\,d\theta=\dfrac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{2}=\dfrac{\sin^{-1}p-p\sqrt{1-p^2}}{2} ∫ cos θ sin 2 θ cos θ d θ = ∫ sin 2 θ d θ = 2 θ − sin θ cos θ = 2 sin − 1 p − p 1 − p 2
So ∫ − 2 p 2 1 − p 2 d p = − 2 ⋅ sin − 1 p − p 1 − p 2 2 = − sin − 1 p + p 1 − p 2 \int\dfrac{-2p^2}{\sqrt{1-p^2}}\,dp=-2\cdot\dfrac{\sin^{-1}p-p\sqrt{1-p^2}}{2}=-\sin^{-1}p+p\sqrt{1-p^2} ∫ 1 − p 2 − 2 p 2 d p = − 2 ⋅ 2 sin − 1 p − p 1 − p 2 = − sin − 1 p + p 1 − p 2
y 1 − p 2 = p 1 − p 2 − sin − 1 p + C . y\sqrt{1-p^2}=p\sqrt{1-p^2}-\sin^{-1}p+C. y 1 − p 2 = p 1 − p 2 − sin − 1 p + C . Divide by 1 − p 2 \sqrt{1-p^2} 1 − p 2
y = p − sin − 1 p − C 1 − p 2 = p + C − sin − 1 p 1 − p 2 . y=p-\dfrac{\sin^{-1}p-C}{\sqrt{1-p^2}}=p+\dfrac{C-\sin^{-1}p}{\sqrt{1-p^2}}. y = p − 1 − p 2 sin − 1 p − C = p + 1 − p 2 C − sin − 1 p . And x = p y − p 2 x=py-p^2 x = p y − p 2
Parametric solution:
Answer
y = p + C − sin − 1 p 1 − p 2 , x = p y − p 2 , parameter p ∈ ( − 1 , 1 ) . \boxed{\;y=p+\dfrac{C-\sin^{-1}p}{\sqrt{1-p^2}},\qquad x=py-p^2,\qquad\text{parameter }p\in(-1,1).\;} y = p + 1 − p 2 C − sin − 1 p , x = p y − p 2 , parameter p ∈ ( − 1 , 1 ) .